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Soma e produto das raízes de uma equação do 2 gra

Uma equação do segundo grau é toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Os termos a, b e c são chamados de coeficiente da equação. A resolução geral de uma equação do segundo grau é dada pela fórmula de Báskara, obtendo-se duas raízes, que é como são chamadas as soluções desse tipo de equação. Através da referida fórmula, obtemos:

Que são as raízes da equação do 2º grau, onde ∆ = b2- 4ac.

Vamos analisar o que ocorre ao adicionar e ao multiplicar as raízes de uma equação do segundo grau.

1. Soma das raízes da equação.

Chamaremos de S a soma das raízes. Segue que:

Assim, verificamos que:

2. Produto das raízes da equação:

Seja P o produto entre x’ e x’’. Temos que:

Sabemos que ∆ = b2- 4ac. Assim, a expressão acima fica da seguinte forma:

Portanto, o produto entre as raízes de uma equação do segundo grau resulta em:

As expressões da soma e do produto das raízes são muito úteis para determinarmos os próprios valores das raízes, sem recorrer à fórmula de Báskara, facilitando o processo, bem como para determinar os coeficientes da equação quando se conhece apenas os valores das duas raízes.

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine a soma e o produto das raízes da equação 2x2 – 3x – 2 = 0.

Solução: Como a equação é 2x2 – 3x – 2 = 0, os valores dos coeficientes são:
a = 2, b = – 3 e c = – 2
Assim, temos que:

Exemplo 2. Determine o valor de k para que o produto das raízes da equação x2 + 8x – 27k = 0 seja igual à – 9.

Solução: Através da equação, podemos constatar que a = 1, b = 8 e c = – 27k. Para que o produto das raízes seja igual à  – 9, deve-se ter:

Observe como podemos escrever uma equação do 2º grau utilizando a soma e o produto de suas raízes.
Dada a equação ax2 + bx + c = 0, vamos dividir todos os termos por a. Teremos:

Exemplo 3. Qual equação do 2º grau possui – 1 e – 11 como raízes e coeficiente a = 1?

Solução: Como a equação procurada é do 2º grau e apresenta coeficiente a = 1, ela pode ser escrita da seguinte forma:

x2-Sx+P=0

Onde S é a soma das raízes e P o produto.

As raízes da equação foram fornecidas pelo problema. Assim, temos que:

S = – 1 + (– 11) = – 12
P = (– 1)(– 11) = 11

Dessa forma, a equação procurada é:
x2 – (– 12)x + 11 = 0 → x2 + 12x + 11 = 0


Por Marcelo Rigonatto
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