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Probabilidade da união de dois eventos

Probabilidade

A probabilidade é a área da matemática que investiga e determina as chances ou possibilidades de um evento ocorrer, como por exemplo, a chance de alguma pessoa ganhar na mega sena. Quando queremos determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, teremos que calcular a probabilidade da união desses dois eventos. É muito importante lembrar que, na lógica matemática, a palavra “ou” quer dizer união.

Vamos obter a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.

Dados dois eventos, A e B, de um espaço amostral S, pela teoria de conjuntos temos que:

Onde,

n(A) é o número de elementos do evento A.
n(B) é o número de elementos do evento B.
n(A ∩ B) é o número de elementos de A intersecção com B.
n(A U B) é o número de elementos de A união com B.

Dividindo todos os membros da igualdade acima por n(S), que corresponde ao número de elementos do espaço amostral, obtemos:

Mas,

Assim, teremos:

Que é a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.

Vejamos um exemplo para melhor compreensão da fórmula.

Exemplo 1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou maior que 2?

Solução: Observe que o problema consiste em determinar a probabilidade de ocorrer um evento ou outro, ou seja, a probabilidade da união de dois eventos. Primeiro passo para resolução desse tipo de problema é determinar os eventos A e B e o espaço amostral. O espaço amostral consiste no conjunto de todos os resultados possíveis. Assim, temos que:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Uma vez que no lançamento de um dado pode sair qualquer número entre 1 e 6.

Vamos determinar os eventos A e B.

Evento A: sair um número par.
A = {2, 4, 6}

Evento B: sair um número maior que 2.
B = {3, 4, 5, 6}

Precisamos, também, determinar o conjunto A ∩ B, que consiste nos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Assim, teremos:
A ∩ B = {4, 6}

Feitas as identificações dos conjuntos, podemos utilizar a fórmula da probabilidade da união para chegar à solução.

Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, ou seja, não há possibilidade deles ocorrerem simultaneamente, a probabilidade de A união com B será dada por:

Pois P(A∩B) = ø.

Exemplo 2. Considere o experimento: lançamento de um dado. Qual a probabilidade de sair um número maior que 5 ou um número ímpar?

Solução: Temos que:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Chamaremos de A o evento: sair um número maior que 5.
A = {6}

Chamaremos de B o evento: sair um número ímpar.
B = {1, 3, 5}

Note que A∩B = ø.

Assim, teremos:


Por Marcelo Rigonatto
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