Plano cartesiano

Plano cartesiano é formado por dois eixos, um horizontal e um vertical, perpendiculares entre si. Ele recebe esse nome em homenagem ao matemático René Descartes.

Plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares enumeradas.

O plano cartesiano, também conhecido como eixo cartesiano, recebe esse nome em homenagem ao matemático René Descartes, que fez várias contribuições para a matemática. O plano cartesiano é formado por duas retas reais, conhecidas também como retas enumeradas. Essas retas são perpendiculares entre si, uma na horizontal, conhecida como eixo das abscissas ou eixo x, e outra na vertical, conhecida como eixo das ordenadas ou eixo y.

O plano cartesiano nos permite inicialmente encontrar a localização de pontos no plano, o par ordenado (x, y) é a representação de um ponto no plano cartesiano, e, com base nesse princípio básico, surgiram vários outros. Estudos foram desenvolvidos com base no plano cartesiano, como a geometria analítica, que envolve a representação de objetos geométricos, como a reta, a circunferência, entre outros.

Leia também: Ponto, reta, plano e espaço – conceitos básicos da geometria

Tópicos deste artigo

Resumo sobre o plano cartesiano

  • O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares entre si e conhecidas como eixos.

  • O eixo horizontal é conhecido como eixo x.

  • O eixo vertical é conhecido como eixo y.

  • O plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes.

  • Todo par ordenado (x, y) pode ser representado por um ponto no plano cartesiano.

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Videoaula sobre plano cartesiano

Como fazer o plano cartesiano?

Para construir o plano cartesiano, desenhamos duas retas numeradas e perpendiculares entre si, uma na horizontal, conhecida como eixo x ou eixo das abcissas, e outra na vertical, conhecida como eixo y ou eixo das ordenadas.

Plano cartesiano com abscissas e ordenadas enumeradas de -3 a 3.

Veja mais: Plano de Argand-Gauss – usado para a representação geométrica dos números complexos

Representação de pontos no plano cartesiano

Com a construção do plano cartesiano, é possível representar a localização de pontos no plano. Sabemos que os eixos x e y são numerados, então, podemos representar pontos por meio de um par ordenado (x, y), ordenado porque a ordem é importante, pois, primeiro, sempre teremos o valor da abcissa e, depois, o valor da ordenada.

Exemplo:

Vejamos no plano cartesiano a representação do ponto (3, 2).

Note que a abcissa vale 3, então, encontraremos esse valor no eixo horizontal, e vamos traçar uma reta pontilhada, paralela ao eixo vertical, passando por 3:

Plano cartesiano enumerado de -3 a 3 e uma reta paralela ao eixo x passando sobre o 3 no eixo y.

Note que a ordenada vale 2, também encontraremos esse valor no eixo vertical, e traçamos uma reta paralela à reta horizontal, passando por 2.

Plano cartesiano enumerado de -3 a 3 e uma reta paralela ao eixo y passando sobre o 2 no eixo x.

Para representar pontos, geralmente utilizamos letras maiúsculas, assim, o ponto (3, 2) está representado por A no plano cartesiano, que é o encontro das retas pontilhadas. De forma mais organizada, podemos representar esse ponto, eliminando parte das retas tracejadas, da seguinte maneira:

Plano cartesiano enumerado de -3 a 3 e com a marcação do ponto A (3, 2).

Veja também: O que é o ponto médio de um segmento no plano?

Elementos do plano cartesiano

Quanto construímos o plano cartesiano, ele possui elementos importantes. O encontro dos dois eixos é conhecido como origem, representada pela letra O, e possui coordenadas (0, 0).

Plano cartesiano enumerado de -3 a 3 e com a marcação da origem, ponto O (0,0).
O é a origem do plano cartesiano e possui coordenadas (0,0).

Além da origem, o plano cartesiano é dividido em quatro partes, que conhecemos como quadrantes. Os quadrantes são nomeados no sentido anti-horário, iniciando pelo quadrante que possui valores positivos para as abscissas e ordenadas:

Plano cartesiano não enumerado apresentando os nomes dos quadrantes.
Quadrantes do plano cartesiano.

Os quadrantes do plano cartesiano podem ser representados também pela letra maiúscula Q seguida da numeração do quadrante:

  • QI → 1º quadrante

  • QII → 2º quadrante

  • QIII → 3º quadrante

  • QIV → 4º quadrante

Sinais no quadrante

Quando fazemos a representação de pontos no plano cartesiano, fazemos uma análise do sinal do par ordenado para identificar em qual quadrante esse ponto se encontra.

Plano cartesiano apresentando os sinais para x e y em cada quadrante.
Sinais dos quadrantes.

Então, temos que:

1º quadrante, os valores de x e de y são positivos → (+, +)

2º quadrante, o valor de x é negativo e o de y é positivo → (–, +)

3º quadrante, os valores de x e de y são negativos → (– , –)

4º quadrante, o valor de x é positivo e o de y é negativo → (+, –)

Veja também: Quais são as operações básicas envolvendo vetores?

Exercícios resolvidos sobre plano cartesiano

Questão 1 - Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir:

I - O eixo vertical é conhecido também como eixo das ordenadas.

II - O ponto A (5, -3) é um ponto do terceiro quadrante.

III - O eixo horizontal é conhecido também como eixo das coordenadas.

Podemos afirmar que:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

E) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

Resolução

Alternativa A

I → Verdadeira

II → Falsa. As coordenadas possuem sinal (+, –), logo, esse ponto pertence ao 4º quadrante.

III → Falsa. O eixo horizontal é conhecido também como eixo das abcissas.

Questão 2 - No plano cartesiano a seguir, foram marcados alguns pontos:

Plano cartesiano desenhado em fundo quadriculado com marcações de diferentes pontos.

As coordenadas do ponto E e do ponto F são, respectivamente:

A) (-3, 1) e (2, -2)

B) (1, 3) e (2, 2)

C) (2, -2) e (3, -1)

D) (-2, 2) e (1, -3)

E) (2, 2) e (1, 3)

Resolução

Alternativa D

Analisando o plano cartesiano, podemos perceber que o ponto E está a 2 unidades da origem em relação ao eixo x, mas note que é para a esquerda, ou seja, x = -2.

Analisando o eixo vertical, o ponto está a 2 unidades da origem para o lado positivo do eixo y, logo, y = 2 e sua coordenada é (-2, 2).

Analisando o ponto F, ele está a 1 unidade no eixo x e a -3 unidades no eixo y, então, sua coordenada é (1, -3).

As coordenadas de E e F são, respectivamente, (-2, 2) e (1, -3).

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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