Termo geral da P.G.
Dada uma sequência numérica onde a partir do 2º termo se dividirmos qualquer número pelo seu antecessor e o resultado for um número constante recebe o nome de progressão geométrica de razão q.
Veja alguns exemplos de sequências numéricas que são progressões geométricas:
(2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374,...) razão q = 3, pois 6:2 = 3
(-5, 15, -45, 135, -405, 1215, ...) razão q = -3, pois 135:(-45) = -3
(3, 15, 75, 375, 1875, 9375,...) razão q = 5, pois 9375:1875 = 5
Uma P.G. pode ser classificada de acordo com a sua razão (q).
Alternada ou oscilante: quando q < 0.
Crescente: quando [a1 > 0 e q > 1] ou [a1 < 0 e 0 < q < 1].
Decrescente: quando [a1 > 0 e 0 < q < 1] ou [a1 < 0 e q >1]
Termo Geral de uma P.G.
Conhecendo o primeiro termo (a1) e a razão (q) de uma progressão geométrica determinamos qualquer termo, basta utilizarmos a seguinte expressão matemática:
an = a1*qn – 1
Exemplos
a5 = a1 * q4
a12 = a1 * q11
a15 = a1 * q14
a32 = a1 * q31
a100 = a1 * q99
Exemplo 1
Determine o 9º termo da P.G. (2, 8, 32,...).
a1 = 2
q = 8:2 = 4
an = a1 * qn-1
a9 = a1 * q9-1
a9 = 2 * 48
a9 = 2 * 65536
a9 = 131072
Exemplo 2
Dada a P.G. (3, -9, 27, -81, 243, -729, ...), calcule o 14º termo.
a1 = 3
q = -9:3 = -3
an = a1 * qn-1
a14 = 3 * (-3)14-1
a14 = 3 * (-3)13
a14 = 3 *(-1.594.323)
a14 = 4.782.969
Exemplo 3
Calcule o 8º termo da P.G. (-2, -10, -50, -250, ...).
a1 = -2
q = (-10):(-2) = 5
an = a1 * qn-1
a8 = -2 * q8-1
a8 = -2 * 57
a8 = -2 * 78.125
a8 = 156.250
As progressões possuem diversas aplicações, um bom exemplo são as estações do ano que se repetem obedecendo a um determinado padrão. No Egito antigo os povos se baseavam em estudos sobre progressões no intuito de saberem os períodos de enchente do rio Nilo, para organizarem suas plantações.
Por Marcos Noé
