P.G.: Progressão Geométrica

Dada uma sequência numérica onde a partir do 2º termo se dividirmos qualquer número pelo seu antecessor e o resultado for um número constante recebe o nome de progressão geométrica de razão q.
Veja alguns exemplos de sequências numéricas que são progressões geométricas:

(2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374,...) razão q = 3, pois 6:2 = 3

(-5, 15, -45, 135, -405, 1215, ...) razão q = -3, pois 135:(-45) = -3

(3, 15, 75, 375, 1875, 9375,...) razão q = 5, pois 9375:1875 = 5

Uma P.G. pode ser classificada de acordo com a sua razão (q).

Alternada ou oscilante: quando q < 0.
Crescente: quando [a1 > 0 e q > 1] ou [a1 < 0 e 0 < q < 1].
Decrescente: quando [a1 > 0 e 0 < q < 1] ou [a1 < 0 e q >1]

Termo Geral de uma P.G.

Conhecendo o primeiro termo (a1) e a razão (q) de uma progressão geométrica determinamos qualquer termo, basta utilizarmos a seguinte expressão matemática:
an = a1*qn – 1

Exemplos
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₂ = a₁ * q¹¹
a₁₅ = a₁ * q¹⁴
a₃₂ = a₁ * q³¹
a₁₀₀ = a₁ * q⁹⁹

Exemplo 1

Determine o 9º termo da P.G. (2, 8, 32,...).

a₁ = 2
q = 8:2 = 4

a_n = a₁ * q^n-1
a₉ = a₁ * q^9-1
a₉ = 2 * 4⁸
a₉ = 2 * 65536
a₉ = 131072

Exemplo 2

Dada a P.G. (3, -9, 27, -81, 243, -729, ...), calcule o 14º termo.

a₁ = 3
q = -9:3 = -3

a_n = a₁ * q^n-1
a₁₄ = 3 * (-3)^14-1
a₁₄ = 3 * (-3)¹³
a₁₄ = 3 *(-1.594.323)
a₁₄ = -4.782.969


Exemplo 3

Calcule o 8º termo da P.G. (-2, -10, -50, -250, ...).

a₁ = -2
q = (-10):(-2) = 5

a_n = a₁ * q^n-1
a₈ = -2 * q^8-1
a₈ = -2 * 5⁷
a₈ = -2 * 78.125
a₈ = -156.250


As progressões possuem diversas aplicações, um bom exemplo são as estações do ano que se repetem obedecendo a um determinado padrão. No Egito antigo os povos se baseavam em estudos sobre progressões no intuito de saberem os períodos de enchente do rio Nilo, para organizarem suas plantações.

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