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Fatoração de Polinômios

Polinômios

Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios.
As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto.

Fator comum em evidência

Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:

No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.

x² + 2x → x * (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2

Veja mais exemplos de fatoração por evidência:

4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1

16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1


Fatoração por Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x * (2y – 1)

–6y + 3 → –3 * (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)


Observe mais exemplos:


bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x * (b + 1) – 2 * (b + 1) → (x – 2) * (b + 1)

10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x * (5x + 2) + 3y * (5x + 2) → (2x + 3y) * ( 5x + 2)



Diferença entre dois quadrados

Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:

4x² – 16 → (2x + 4) * (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4

25x² – 100 → (5x + 10) * (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10

81x4 – 144 → (9x² + 12) * (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12


400x² – 49 → (20x + 7) * (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7



Trinômio quadrado perfeito

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81


4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144



Trinômio Soma e Produto

São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P, que podem ser fatorados e escritos da seguinte forma (x + a) * (x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e Produto = a * b. Observe:

x² + 10x + 16 → (x + 8) * (x + 2)
Soma = 10
Produto = 16
Os números são 8 e 2, pois:
8 + 2 = 10
8 * 2 = 16

x² – 13x + 42 → (x – 6) * (x – 7)
Soma = –13
Produto = 42
Os números são –6 e –7, pois:
– 6 – 7 = – 13
(–6) * (–7) = 42

x² + 3x – 10 → (x – 2) * (x + 5)
Soma = 3
Produto = –10
Os números são 3 e –10, pois:
– 2 + 5 = 3
(–2) * 5 = – 10

x² – 2x – 63 → (x – 9) * (x + 7)
Soma = –2
Produto = – 63
Os números são –9 e 7, pois:
– 9 + 7 = – 2
(–9) * 7 = – 63


Por Marcos Noé
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