Equações biquadradas

Equações biquadradas são equações polinomiais do quarto grau que podem ser expressas na forma de uma equação do segundo grau por meio de um processo de mudança de variável.

Forma geral das equações biquadradas.
Forma geral das equações biquadradas.

Equações biquadradas são equações polinomiais do quarto grau que possuem uma forma geral específica. Seu estudo é importante, pois, por meio de uma mudança de variável, é possível transformá-las em equações do segundo grau, que, por sua vez, possuem muitos métodos de resolução. Por fim, desfazendo essa mudança de variável, encontra-se quais são as raízes reais das equações biquadradas.

Leia também: O que são as equações logarítmicas?

Tópicos deste artigo

Resumos sobre equações biquadradas

  • Equações biquadradas são uma classe de equações de quarto grau.
  • Elas possuem a fórmula geral:

\(ax^4+bx^2+c=0\)

  • É possível transformá-las em equações de segundo grau por meio de uma mudança de variável.
  • Após resolver a equação do segundo grau e desfazendo a mudança, encontra-se as raízes da equação biquadrada.

Videoaula sobre equações biquadradas

O que são equações biquadradas?

Equações biquadradas são uma classe de equações polinomiais do quarto grau. Elas geralmente são representadas da seguinte forma:

\(ax^4+bx^2+c=0\)

Nelas, a,b e c são números reais e obrigatoriamente o coeficiente a≠0. Essa classe de equações é importante, pois é possível realizar a mudança de variável \(y=x^2\), transformando-a em uma equação do segundo grau, facilitando o processo de obtenção de suas raízes.

Diferença entre equação biquadrada e equação do 4° grau

Uma equação biquadrada é uma equação polinomial do quarto grau, porém nem toda equação do quarto grau é uma equação biquadrada. Para uma equação do quarto grau ser classificada dessa forma, é necessário que os coeficientes de seus termos x3 e x sejam nulos, existindo assim uma maneira de realizar a troca de variáveis \(y=x^2, \), transformando-a em uma equação do segundo grau.

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  • Exemplo:

Verifique se a equação \(x^4+7x^3+x^2+1=0\) é biquadrada.

Resolução:

Perceba que o coeficiente que acompanha o termo x3 é diferente de zero (nesse caso, o coeficiente é o 7). Portanto, essa equação é do quarto grau, mas não é uma equação biquadrada.

Como resolver equações biquadradas?

Resolver uma equação biquadrada é determinar quais são as raízes dessa equação, ou seja, quais são os valores de x que satisfazem a seguinte igualdade:

\(ax^4+bx^2+c=0\)

No entanto, uma equação biquadrada pode ser reescrita como uma equação polinomial do segundo grau por meio da mudança de variável \(y=x^2\), ou seja:

\(ax^4+bx^2+c=0\rightarrow a\)

\(\rightarrow ay^2+by+c=0\)

Com base nessa transformação, é possível determinar quais são as raízes da equação de segundo grau: \(ay^2+by+c=0\). Depois, basta desfazer a mudança de variável e, assim, encontrar quais são as raízes da equação de quarto grau original.

  • Exemplo 1:

Encontre as raízes da equação \(x^4-5x^2+4=0\).

Resolução:

Primeiramente, perceba que essa é uma equação biquadrada, pois, fazendo a mudança de variável \(y=x^2\), ela pode ser convertida na seguinte equação do segundo grau:

\(y^2-5y+4=0\)

Resolvendo essa equação do segundo grau, descobre-se que suas raízes são \(y_1=1\) e \(y_2=4\).

 

Desfazendo a mudança de variável, é possível descobrir quais são as raízes da equação biquadrada original. Assim:

\(y=x^2\rightarrow x=\pm\sqrt y\)

Portanto, as raízes da equação biquadrada são dadas por:

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm1 \)

\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm2 \)

Dessa forma, as raízes da equação biquadrada são: \(x_1=1,x_2=-1,x_3=2\) e \(x_4=-2\).

  • Exemplo 2:

Encontre as raízes da equação \(x^4-18x^2+81=0\).

Resolução:

Novamente, o primeiro passo a se fazer é perceber que essa é uma equação biquadrada, pois, fazendo a mudança de variável y = x2, ela pode ser transformada na seguinte equação do segundo grau:

\(y^2-18y+81=0\)

Utilizando os métodos de resolução de equação do segundo grau, descobre-se que as raízes dessa equação são \(y_1=y_2=9\), ou seja, ela possui duas raízes reais e iguais.

Desfazendo a mudança de variável, é possível notar que as raízes da equação biquadrada serão dadas por:

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm3 \)

\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm3 \)

Logo, as raízes da equação biquadrada são: \(x_1=x_3=3\) e \(x_2=x_4=-3\).

Veja também: O que são inequações do segundo grau?

Exercícios resolvidos sobre equações biquadradas

Questão 1

Observe atentamente as afirmações a seguir:

I. A equação x4 = 0 é uma equação biquadrada.

II. Uma equação do quarto grau também é chamada de equação biquadrada.

III. Uma equação biquadrada possui no máximo duas raízes.

São verdadeiras apenas as afirmações:

A) Apenas a I.

B) I e II.

C) I e III.

D) II e III.

Resolução:

Alternativa A

I. A equação x4 = 0 é uma equação biquadrada. (verdadeira)

A equação x4 = 0 possui apenas o coeficiente a = 1, que acompanha o termo x4. Além disso, considerando y = x2, a equação biquadrada pode ser reescrita como y2 = 0.

II. Uma equação do quarto grau também é chamada de equação biquadrada. (falsa)

Uma equação biquadrada é uma equação do quarto grau, mas o contrário nem sempre é verdade.

III. Uma equação biquadrada possui no máximo duas raízes. (falsa)

Uma equação biquadrada é uma classe de equações polinomiais de quarto grau. Assim, como o grau de um polinômio determina o número máximo de raízes dele, uma equação biquadrada possui no máximo quatro raízes e não apenas duas.

Questão 2

Assinale a alternativa que apresenta todas as raízes da equação biquadrada \(x^4-3x^2+2=0\).

A) \(x_1=x_2=1\) e \(x_3=x_4=2\)

B) \(x_1=x_2-1\)e \(x_3=x_4-2\)

C) \(x_1=1,x_2=-1,x_3=2\) e \(x_4=-2\)

D) \(x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt2\) e \(x_4=-\sqrt2\)

Resolução:

Alternativa D

Fazendo a mudança de variável \(y=x^2\), essa equação pode ser reescrita como a seguinte equação do segundo grau:

\(y^2-3y+2=0\)

Nela, as raízes são \(y_1=1\)\(y_2=2\) .

Desfazendo a mudança de variável, é possível descobrir quais são as raízes da equação biquadrada original. Assim:

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm1 \)

\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm\sqrt2 \)

Portanto, as raízes da equação biquadrada são: \(x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt2\) e \(x_4=-\sqrt2\).

Fontes

GOMES, Francisco Magalhães. Pré-cálculo: operações, equações, funções e sequências. 1. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2018.

SAMPAIO, Fausto Arnaud. Trilhas da matemática, 9º ano: ensino fundamental, anos finais. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2018.

Por: Lenon Ávila

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