Encontrando a reta tangente a uma circunferência

O estudo das posições relativas de uma reta em relação a uma circunferência nos mostra três possibilidades para estas posições, onde todas dependem da distância do centro da circunferência até a reta.

Para uma melhor compreensão do que será abordado neste artigo, indicamos a leitura dos artigos  Distância entre ponto e reta  e Posição relativa entre uma reta e uma circunferência.

Iremos encontrar a reta tangente partindo de um ponto cuja posição é de grande relevância para o estudo da reta tangente que passa por ele. Sendo assim, teremos os seguintes casos:

• Ponto P interno à circunferência (distância do centro ao ponto menor que o raio), não existe nenhuma reta tangente nestas condições;

• O ponto P como um ponto da circunferência (distância do centro ao ponto igual ao raio), nos dá uma única reta tangente, sendo P o ponto de tangência;

• Ponto P externo à circunferência (distância do centro ao ponto maior que o raio), teremos duas retas tangentes passando por este ponto.

Sendo assim, antes de irmos à busca da reta tangente, devemos verificar a posição relativa entre o ponto e a circunferência.

Vejamos um exemplo:

Determine as equações das retas tangentes à circunferência λ: x²+y²=1, traçadas pelo ponto P(√2, 0).

Devemos verificar a posição relativa à circunferência. Ou seja, calcular a distância deste ponto até o centro da circunferência.

Temos que esta circunferência possui centro C(0,0) e raio r=1. Sendo assim,

Se o ponto P é um ponto externo, podemos afirmar que devemos encontrar duas retas tangentes.

Se as retas são tangentes, sabemos que a distância do centro até a reta tangente deverá ser igual ao raio. Esta reta tangente deverá passar pelo ponto P(√2, 0).

Sendo assim, a equação da reta t será:

t: y-0=m(x-√2)  -> mx-y-√2m=0

Com a equação da reta temos condições de calcular a distância do centro da circunferência até a reta tangente.

Basta substituirmos o valor do coeficiente angular m na equação da nossa reta tangente para obtermos a resposta final.



Portanto, para encontrarmos a equação de uma reta tangente traçada por um ponto dado é preciso conhecer a posição relativa deste ponto, para assim analisarmos o comportamento da reta que passa por este ponto e tangencia a circunferência.