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Diagonais de um polígono convexo

Pentágono

Os polígonos são formas geométricas planas formadas por segmentos de reta que formam uma região fechada. Essas figuras são classificadas de acordo com o número de lados e possuem características e propriedades que variam de um para outro. O polígono com menor número de lados é o triângulo. É através do número de lados que podemos determinar quantas diagonais o polígono possui. Diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um polígono.

Vejamos o exemplo do quadrado:


O quadrado possui duas diagonais: AC e BD.

Existe uma fórmula que determina quantas diagonais há num polígono de n lados.

Onde,
D → é o número de diagonais do polígono.
n → é o número de lados do polígono.

Exemplo 1. Determine o número de diagonais do polígono abaixo.

 Solução: O polígono tem 5 lados (pentágono), assim, utilizando a fórmula teremos:

Portanto, o pentágono possui 5 diagonais.

Exemplo 2. Quantas diagonais possui o decágono?

Solução: Decágono é um polígono com 10 lados. Assim, teremos:

Portanto, o decágono possui 35 diagonais.

Exemplo 3. Determine quantos lados possui um polígono com 90 diagonais.

Solução: Sabemos que o número de diagonais é 90 e precisamos determinar o número de lados desse polígono. Utilizaremos a fórmula do número de diagonais para descobrir a quantidade de lados do polígono.

Portanto, o polígono que apresenta 90 diagonais tem 15 lados.

Exemplo 4. Qual o polígono que não apresenta diagonais?

Solução: o único polígono que não possui diagonais é o triângulo, uma vez que seus vértices são consecutivos. Através da fórmula acima também podemos verificar essa propriedade. Veja:

Exemplo 5. Quantas diagonais possui um polígono com 22 lados?

Solução: Temos que n = 22 lados. Assim,


Portanto, um polígono com 22 lados apresenta 209 diagonais.


Por Marcelo Rigonatto
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